注册 登录  
 加关注
   显示下一条  |  关闭
温馨提示!由于新浪微博认证机制调整,您的新浪微博帐号绑定已过期,请重新绑定!立即重新绑定新浪微博》  |  关闭

平安甜橙博客

家俭则兴,人勤则健,能勤能俭,永不贫贱

 
 
 

日志

 
 
 
 

最大似然估计  

2017-10-04 20:43:02|  分类: 概率论与数理统计 |  标签: |举报 |字号 订阅

  下载LOFTER 我的照片书  |

最大似然估计,是参数估计的方法之一。说的是已知某个随机样本满足某种概率分布,但是其中具体的参数不清楚,参数估计就是通过若干次试验,观察其结果,利用结果推出参数的大概值。也就是,已知某个参数能使这个样本出现的概率最大。对于最大似然估计方法的应用,需要结合特定的环境,因为它需要你提供样本的已知模型进而来估算参数。求最大似然函数估计值的一般步骤: 
(1) 写出似然函数
(2) 对似然函数取对数,并整理
(3) 求导数
(4) 解似然方程

二、离散型

clip_image006为离散型随机变量,clip_image008为多维参数向量,如果随机变量clip_image010相互独立且概率计算式为P{clip_image012,则可得概率函数为P{clip_image014}=clip_image016,在clip_image008[1]固定时,上式表示clip_image014[1]的概率;当clip_image014[2]已知的时候,它又变成clip_image008[2]的函数,可以把它记为clip_image018,称此函数为似然函数。似然函数值的大小意味着该样本值出现的可能性的大小,既然已经得到了样本值clip_image014[3],那么它出现的可能性应该是较大的,即似然函数的值也应该是比较大的,因而最大似然估计就是选择使clip_image020达到最大值的那个clip_image002[1]作为真实clip_image004[1]的估计。

三、 连续型

clip_image006[1]为连续型随机变量,其概率密度函数为clip_image022clip_image010[1]为从该总体中抽出的样本,同样的如果clip_image010[2]相互独立且同分布,于是样本的联合概率密度为clip_image024

四、 关于概率密度(PDF)

我们来考虑个简单的情况(m=k=1),即是参数和样本都为1的情况。假设进行一个实验,实验次数定为10次,每次实验成功率为0.2,那么不成功的概率为0.8,用y来表示成功的次数。由于前后的实验是相互独立的,所以可以计算得到成功的次数的概率密度为:

clip_image026=clip_image028 其中yclip_image030

由于y的取值范围已定,而且clip_image032也为已知,所以图1显示了y取不同值时的概率分布情况,而图2显示了当clip_image034时的y值概率情况。

clip_image036

图1 clip_image038时概率分布图

clip_image040

图2 clip_image042时概率分布图

那么clip_image032[1]在[0,1]之间变化而形成的概率密度函数的集合就形成了一个模型。

五、 最大似然估计的求法

由上面的介绍可以知道,对于图1这种情况y=2是最有可能发生的事件。但是在现实中我们还会面临另外一种情况:我们已经知道了一系列的观察值和一个感兴趣的模型,现在需要找出是哪个PDF(具体来说参数clip_image032[2]为多少时)产生出来的这些观察值。要解决这个问题,就需要用到参数估计的方法,在最大似然估计法中,我们对调PDF中数据向量和参数向量的角色,于是可以得到似然函数的定义为:

clip_image044

该函数可以理解为,在给定了样本值的情况下,关于参数向量clip_image032[3]取值情况的函数。还是以上面的简单实验情况为例,若此时给定y为7,那么可以得到关于clip_image032[4]的似然函数为:

clip_image046

继续回顾前面所讲,图1,2是在给定clip_image032[5]的情况下,样本向量y取值概率的分布情况;而图3是图1,2横纵坐标轴相交换而成,它所描述的似然函数图则指出在给定样本向量y的情况下,符合该取值样本分布的各种参数向量clip_image032[6]的可能性。若clip_image048相比于clip_image050,使得y=7出现的可能性要高,那么理所当然的clip_image048[1]要比clip_image050[1]更加接近于真正的估计参数。所以求clip_image032[7]的极大似然估计就归结为求似然函数clip_image052的最大值点。那么clip_image032[8]取何值时似然函数clip_image054最大,这就需要用到高等数学中求导的概念,如果是多维参数向量那么就是求偏导。

clip_image070

图3 clip_image072的似然函数分布图

主要注意的是多数情况下,直接对变量进行求导反而会使得计算式子更加的复杂,此时可以借用对数函数。由于对数函数是单调增函数,所以clip_image056clip_image058具有相同的最大值点,而在许多情况下,求clip_image060的最大值点比较简单。于是,我们将求clip_image058[1]的最大值点改为求clip_image060[1]的最大值点。

clip_image062

若该似然函数的导数存在,那么对clip_image060[2]关于参数向量的各个参数求导数(当前情况向量维数为1),并命其等于零,得到方程组:

clip_image064

可以求得clip_image034[1]时似然函数有极值,为了进一步判断该点位最大值而不是最小值,可以继续求二阶导来判断函数的凹凸性,如果clip_image034[2]的二阶导为负数那么即是最大值。还要指出,若函数clip_image022[1]关于clip_image066导数不存在,我们就无法得到似然方程组,这时就必须用其它的方法来求最大似然估计值,例如用有界函数的增减性去求clip_image068的最大值点

  评论这张
 
阅读(12)| 评论(0)
推荐 转载

历史上的今天

评论

<#--最新日志,群博日志--> <#--推荐日志--> <#--引用记录--> <#--博主推荐--> <#--随机阅读--> <#--首页推荐--> <#--历史上的今天--> <#--被推荐日志--> <#--上一篇,下一篇--> <#-- 热度 --> <#-- 网易新闻广告 --> <#--右边模块结构--> <#--评论模块结构--> <#--引用模块结构--> <#--博主发起的投票-->
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

页脚

网易公司版权所有 ©1997-2018